这则笔记为准备我的博士生资格考试而作, 内容是线性和非线性的含时薛定谔方程. 发到这里一来可以存档, 二来可以共享.

      以下将总以$t$代表时间变量, $x$代表空间变量. 对空间变量的导数总记为$D$或$\nabla$ (强调物理意义时). 所有依赖于时间的分布都将被视作是到某个不含时的分布空间的道路, 例如$g(x,t)\in L^q(\mathbb{R};L^p(\mathbb{R}^n))=:L^q_tL^p_x$, 而这个空间的范数是$$
\|g\|_{L^q_tL^p_x}=\left(\int_{\mathbb{R}}\|g(\cdot,t)\|^q_{L^p_x}dt\right)^{1/q}
=\left(\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|g(x,t)|^pdx\right)^{q/p}dt\right)^{1/q}.
$$指标$p\in[1,\infty]$的共轭指标记为$p'$. 为简便计, Fourier 变换带来的正常数因子如$2\pi$之类一概省略.

      主要参考文献:
      [CW] Cazenave T., Weissler F., The Cauchy Problem for the Critical Nonlinear Schrödinger Equation in $H^s$.
      [K] Kato T., On Nonlinear Schrödinger Equations, II. $H^s$-solutions and Unconditional Well-posedness.
      [LP] Linares F., Ponce G., Introduction to Nonlinear Dispersive Equations.
      [Tao] Tao T., Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis.
      牵扯到的调和分析内容:
      [Tay] Taylor M., Tools for PDE: Pseudodifferential Operators, Paradifferential Operators, and Layer Potentials.

1. 初等性质

      对于 Schwartz 分布$u_0\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$, 算子$e^{it\Delta}$的定义是$$
e^{it\Delta}u_0=(e^{-it|\xi|^2}\hat{u}_0(\xi))^\vee,
$$而$e^{-it|\xi|^2}$的 Fourier 逆变换可以由一有界函数代表; 实际上, $(e^{-\epsilon|\xi|^2-it|\xi|^2})^\vee$当$\epsilon\to0$时在分布意义下收敛至$(e^{-it|\xi|^2})^\vee$, 而根据 Gauss 积分公式立见前者逐点收敛至$\exp(-|x|^2/(4it))/(4it)^{n/2}$. 于是$$
e^{it\Delta}u_0=\frac{e^{-|x|^2/4it}}{(4it)^{n/2}}*u_0.
$$含时分布$u=e^{it\Delta}u_0$是自由薛定谔方程初值问题$$
\partial_t u=i\Delta u,\,u(\cdot,0)=u_0
$$的解 (在这么宽泛的条件下不能保证唯一性, 或者说所有解都是这个形式). 如果方程是非齐次的, 即$$
\partial_t u=i\Delta u+F,\,u(\cdot,0)=u_0,
$$则有 Duhamel 原理$$
u=e^{it\Delta}u_0+\int_0^t e^{i(t-s)\Delta}F(\cdot,s)ds.
$$当然, 为了让右边的积分有意义, 需要保证函数$e^{i(t-s)\Delta}F(\cdot,s)$总落在某些$L^p$空间里. 另外, 此公式给出的也只是原初值问题的在分布意义下的解, 即对于任何 Schwartz 函数$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, 总有$$
\partial_t\langle u,f\rangle_x=i\langle u,\Delta f\rangle_x+i\langle F,f\rangle_x,\,\lim_{t\to0}\langle u(t),f\rangle_x=\langle u_0,f\rangle.
$$这完全不能说明任何正则性结论.

      自由薛定谔方程是线性色散方程的特例. 线性色散方程的一般形状是$$
\partial_t u=Lu,
$$这里$L=h(iD)$是反对称的常系数微分算子. 色散方程描述的是有色散的波动现象. 为了看出这一点, 仍旧以薛定谔方程为例. 取一对$(x,t)$无穷可微且所有阶导数都有界的函数$\phi$, 则对任何固定的$\xi\in\mathbb{R}^n$, 函数$$
u(x,t):=e^{ix\cdot\xi-it|\xi|^2}\cdot\phi(\epsilon (x+2\xi t),\epsilon^2 t)=\Psi\Phi
$$满足$$
(\partial_t-i\Delta)u=-2iD\Psi\cdot D\Phi+\Psi\partial_t\Phi-\Psi i\Delta\Phi.
$$根据复合函数导数的计算, $\epsilon$的一次项都抵消了, 于是$(\partial_t-i\Delta)u=O_\phi(\epsilon^2)$, 即如果$\epsilon$足够小, 那么$u$就是自由薛定谔方程的二阶近似解. 然而函数$u$本身描述的就是群速度为$2\xi$, 时间相为$|\xi|^2$的波, 色散关系是$\omega=|\xi|^2$即 de Broglie 关系. 特别地, 假如$\Phi$本就是自由薛定谔方程的解, 那$u$也仍旧是解. 这是伽利略不变性.

      容易验证自由薛定谔方程$\partial_t u=i\Delta u$的各种对称性. 如果$u(x,t)$满足自由薛定谔方程, 那么下列所有函数都满足薛定谔方程: 最简单的有时间反演, 相位旋转, 平移和空间旋转给出的函数$$
\overline{u(x,-t)};\,e^{i\theta}u(x,t);\,u(x-x_0,t-t_0);\,u(Ax,t),\,A\in O(n);
$$
还有伽利略变换, 尺度变换和伪共形变换给出的函数$$
u(x-2v_0t,t)e^{ix\cdot v_0-it|v_0|^2};
\,\lambda^{-n/2}u(\lambda x,\lambda^2t);\,
$$ $$\frac{1}{(\alpha+\omega t)^{n/2}}\exp\left[\frac{i\omega|x|^2}{4(\alpha+\omega t)}\right]u\left(\frac{x}{\alpha+\omega t},\frac{\gamma+\theta t}{\alpha-\omega t}\right),\,\alpha\theta-\omega\gamma=1.
$$这些对称性可以给出许多守恒量. 假定解$u$有足够好的正则性. 相应于相位旋转的是总质量/总概率$$
M(t)=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x,t)|^2dt;
$$相应于空间平移不变性的是动量$$
p(t)=\int_{\mathbb{R}^n}\text{Im}(\overline{u(x,t)}\nabla u(x,t))dx;
$$相应于时间平移不变性的是能量$$
E(t)=\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla u(x,t)|^2dx;
$$等等.

      与波动方程不同的是, 薛定谔方程意味着波的传播速度是无限的: 如果初始值$u_0\neq0$具有紧支集, 那么根据 Paley-Wiener 定理, 不论$t$多么小, $e^{it\Delta}u_0$都决不可能有紧支集. 然而通过一些细致的计算, 却可以看出, 可以保证在短时间内"远处测得的变化"很小. 例如假定$u_0$是 Schwartz 函数, 则$$
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{e^{-|y-x|^2/4it}}{(4it)^{n/2}}u_0(y)dy.
$$固定$x$. 对于小的$t$, 这个震荡积分的主要贡献来自于$y$接近$x$的部分, 即任意指定$\delta>0$, 都有$$
\left|\int_{|y-x|\geq\delta}\frac{e^{-|y-x|^2/4it}}{(4it)^{n/2}}u_0(y)dy\right|=O(t^{\infty}).
$$而主要部分则可根据渐近展开的一般结果确定为$t$的形式幂级数, $t^k$的系数是$D^ku_0$的线性函数. 如果$x\notin\text{supp}u_0$, 那么对于小的$t$, 渐近级数的所有系数都是零. 这的确说明, 如果观测点足够远, 那么在足够短的时间内, 对概率密度$|u|^2$的观测结果变化也足够小.

      算子插值可以给出$e^{it\Delta}$作用的衰减估计. 由 Plancherel 定理可见$\{e^{it\Delta}\}_{t\in\mathbb{R}}$构成$L^2_x$上的酉算子群. 再使用 Young 不等式即见$\|e^{it\Delta}f\|_{L^\infty_x}\leq C|t|^{-n/2}\|f\|_{L^1_x}$. 这样, 根据 Riesz-Thorin 定理, 对于$2\leq p\leq\infty$有$$
\|e^{it\Delta}f\|_{L^p_x}\leq C|t|^{-n/2\cdot(1/p'-1/p)}\|f\|_{L_x^{p'}}.
$$显然, 如果插入与$e^{it\Delta}$交换的算子$\langle D\rangle^{s/2}$, 则得到 Sobolev 范数的估计$$
\|e^{it\Delta}f\|_{H^{s,p}_x}\leq C|t|^{-n/2\cdot(1/p'-1/p)}\|f\|_{H_x^{s,p'}}.
$$另外, 若引入加权 Sobolev 范数$\|f\|_{WH^{k,k}_x}:=\sum_{j=0}^k\|\langle x\rangle^{k-j}D^jf\|_{L^2_x}$, 则通过计算 Fourier 变换即可看出$$
\|e^{it\Delta}f\|_{WH_x^{k,k}}\leq C_{n,k}\langle t\rangle^k\|f\|_{WH_x^{k,k}}.
$$但是除此之外, 算子$e^{it\Delta}$几乎不能改善空间正则性. 实际上, 有下列的事实:

      对任何$t\neq0$, $p\neq2$, 都存在$f\in L^2_x$使得$e^{it\Delta}f\notin L^p_x$; 只需要取$f=e^{-it\Delta}g$, $g\in L^2_x\setminus L^p_x$即可.

      对任何$t\neq0$, $p\neq2$, $e^{it|\xi|^2}$都不是$L^p$乘子; 假如$e^{it|\xi|^2}$是$L^{p'}$乘子, $p>2$, 那么$$
\begin{aligned}
\|f\|_{p}&=\|e^{-it\Delta}e^{it\Delta}f\|_{p}\leq C_t\|e^{it\Delta}f\|_{p'}\leq C_t\|f\|_{p'},
\end{aligned}
$$而这当然是不可能的; 同理, 假如$e^{it|\xi|^2}$是$L^{p}$乘子, $p>2$, 那么$$
\begin{aligned}
\|f\|_{p}&=\|e^{-it\Delta}e^{it\Delta}f\|_{p}\leq C_t\|e^{it\Delta}f\|_{p}\leq C_t\|f\|_{p'},
\end{aligned}
$$这也是不可能的.

      如果$t\neq0$, 那么形如$\|e^{it\Delta}f\|_{q}\leq C_t\|f\|_{p}$的估计只可能对$q=p'$, $1\leq p\leq2$成立; 实际上, 如果$\tau_h$是平移算子, 那么通过紧支集函数的逼近可看出$\lim_{|h|\to\infty}\|(1+\tau_h)f\|_{p_0}=2^{1/p_0}\|f\|_{p_0}$, 从而如果上面的估计能够成立, 则可得到不等式$\|e^{it\Delta}f\|_{q}\leq C_t2^{1/p-1/q}\|f\|_{p}$, 如果$q<p$, 则迭代即见$e^{it\Delta}f\equiv0$, 矛盾; 于是必然有$q\geq p$. 进一步地, 如果$u(x,t):=[e^{it\Delta}f](x)$, $u_\mu(x,t):=u(\mu x,\mu^2t)$, 则根据尺度变换的不变性可得$u_{\mu}(x,t)=[e^{i\mu^2t\Delta}f](\mu x)$, 于是如果$\|e^{it\Delta}f\|_{q}\leq C_t\|f\|_{p}$, 则$C_t$只能形如$Ct^{n/2\cdot(1/q-1/p)}$, 而利用对偶算子即得必然有$q=p'$, 再加上$q\geq p$就得到了结论. 从这个角度说, 算子插值能给出的$e^{it\Delta}$的估计是"最优"的.

      如果$t\neq0$, $s>0$, 那么决不可能有形如$\|e^{it\Delta}f\|_{H^{s,q}_x}\leq C_t\|f\|_{L^p_x}$的估计, 从而$e^{it\Delta}$无法提升整体的可微性. 不妨设$s$充分小. 假若这样的估计真的成立, 那么根据前一条, 必然有$q=p'$, $1\leq p\leq2$. 但根据 Sobolev 嵌入定理, 又得到$\|e^{it\Delta}f\|_{L^{q^*}_x}\leq C_t\|f\|_{L^p_x}$, 其中$1/q^*=1/q-s/n$; 这样一来就必须有$q^*=q=p'$, 而这只能导出$s=0$.

2. Strichartz 估计

      Strichartz 估计建立的是群$\{e^{it\Delta}\}_{t\in\mathbb{R}}$的作用对时间$t$的可积性. 对于其它色散方程, 也有 Strichartz 估计. 对于线性薛定谔方程, 涉及到的$e^{it\Delta}$的容许指标对 (admissible index pair for $e^{it\Delta}$) $(p,q)$ (在这里先后次序十分重要!) 要符合如下要求: $$
\left\{
\begin{array}{lc}
2\leq p<\frac{2n}{n-2},\,&n\geq3\\
2\leq p<\infty,\,&n=2\\
2\leq p\leq\infty,\,&n=1\\
\end{array}
\right.
$$而且$$\frac{2}{q}=\frac{n}{2}-\frac{n}{p}\Leftrightarrow q=\frac{4p}{n(p-2)}.$$注意这在所有维数下都限定了$2<q\leq\infty$, $n=1$时更有$4\leq q\leq\infty$.

      定理 2.1. 设$(p,q),(b,a)$是$e^{it\Delta}$的容许指标对. 则成立下列估计:
$$\|e^{it\Delta}f\|_{L^q_tL^p_x}\leq C\|f\|_{L_x^2},\tag{i}$$ $$\left\|\int_{-\infty}^\infty e^{i(t-s)\Delta}g(\cdot,s)ds\right\|_{L^q_tL^p_x}\leq C\|g\|_{L^{a'}_tL^{b'}_x},\tag{ii}$$ $$\left\|\int_{-\infty}^\infty e^{is\Delta}g(\cdot,s)ds\right\|_{L^2_x}\leq C\|g\|_{L^{q'}_tL^{p'}_x},\tag{iii}$$

      证明. 首先注意到下面显见的事实: 设$\mathfrak{A}$是 Hilbert 空间, $\mathfrak{B}$是 Banach 空间, 则线性算子$T:\mathfrak{A}\to\mathfrak{B}$的连续性等价于$T^*:\mathfrak{B}^*\to\mathfrak{A}$的连续性, 也等价于$TT^*:\mathfrak{B}^*\to\mathfrak{B}$的连续性.

      命$L^2_x$上算子$Tf:=e^{it\Delta}f$. 形式上, $T^*g=\int_{-\infty}^\infty e^{-is\Delta}g(\cdot,s)ds$, $TT^*g=\int_{-\infty}^\infty e^{i(t-s)\Delta}g(\cdot,s)ds$. 先来证明第 (ii) 条断言. 对任何$t$, 根据对空间变量积分的 Minkowski 不等式和衰减估计, 都有$$
\begin{aligned}
\left\|\int_{-\infty}^\infty e^{i(t-s)\Delta}g(\cdot,s)ds\right\|_{L^p_x}&
\leq\int_{-\infty}^\infty \|e^{i(t-s)\Delta}g(\cdot,s)\|_{L^p_x}ds\\
&\leq C\int_{-\infty}^\infty |t-s|^{-n/2\cdot(1/p'-1/p)}\|g(\cdot,s)\|_{L^{p'}_x}ds.
\end{aligned}
$$根据初等微积分, 为使得右边对$t$有意义, 必须要有$0\leq n/2\cdot(1/p'-1/p)<1$; 在此基础上, 根据 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 当$s\to\|g(\cdot,s)\|_{L^{p'}_x}$属$L^{q'}_t$类即$g\in L^{q'}_tL^{p'}_x$时, 上式右边属$L^q_t$类, 其中$1/q=1/q'-[1-n/2\cdot(1/p'-1/p)]$ (注: $|D|^{-s}$在$L^p_x$上的 HLS 不等式的指标是$1/q=1/p-s/n$). 这两者合起来正好就是容许指标对的条件. 这就证明了当$(p,q)=(b,a)$时的不等式 (ii).

      而后, 先在证明开始的一般断言中取$\mathfrak{A}=L_x^2$, $\mathfrak{B}=L_t^qL^p_x$, 则$TT^*$是$L_t^{q'}L_x^{p'}$到$L_t^{q}L_x^{p}$的有界线性算子; 因为$L_t^{q'}L_x^{p'}$在$\mathfrak{B}^*$中弱*稠密, 故得到$TT^*$是$\mathfrak{B}^*$到$\mathfrak{B}$的有界线性算子, 从而$T:L_x^2\to L_t^{q}L_x^{p}$有界, $T^*$限制在弱*稠密子空间$L_t^{q'}L_x^{p'}$上到$L_x^2$也有界, 所以第 (i) 和第 (iii) 个断言也得证. 然后再取$\mathfrak{A}=L_x^2$, $\mathfrak{B}=L^a_tL_x^b$; 于是对于$g\in L^{a'}_tL_x^{b'}$, 有$$
\|TT^*g\|_{L_t^qL_x^p}\leq C\|T^*g\|_{L_x^2}\leq C\|g\|_{L^{a'}_tL_x^{b'}}.
$$这就是断言 (ii). Q. E. D.

      为了将上述估计中的 (ii) 再细化, 需要 Christ-Kiselev 引理:

      引理 2.2. 设$K$是$\mathbb{R}^2$上的局部可积函数. 对于$1<r<l\leq\infty$, 如果算子$$
Tf(t)=\int_{-\infty}^\infty K(t,s)f(s)ds
$$定义了从$L^r$到$L^l$的有界线性算子, 那么$$
Wf(t)=\int_{-\infty}^t K(t,s)f(s)ds
$$同样是从$L^r$到$L^l$的有界线性算子.

      证明. 不失一般性可设$\|f\|_{L^r}=1$, 而且$|f|^r$的原函数$F(t)=\int_{-\infty}^t|f(s)|^rds$是严格递增的. 则对于任何区间$I\subset[0,1]$, $\|f\|_{L^r(F^{-1}(I))}=|I|^{1/r}$. 现在作三角形$\{(x,y):\,0\leq x<y\leq1\}$的 Witheney 分解, 即分解为一族二进方体$\mathcal{A}=\{Q=I\times J\}$的并; 这一族方体中的每一个的右下顶点都落在对角线上, 而且边长为$2^{-k}$的方体有$2^{k-1}$个. 这是容易做到的. 接下来, 命$$B(f,g)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(t,s)f(s)g(t)dsdt.$$对于$g\in L^{l'}$, $\|g\|_{L^{l'}}=1$, 有$$
\begin{aligned}
|\langle Wf,g\rangle|&=\left|\int_{s<t}K(t,s)f(s)g(t)dsdt\right|\\
&=\left|\sum_{Q=I\times J\in\mathcal{A}}B\left(\chi_{F^{-1}(I)}f,\chi_{F^{-1}(J)}g\right)\right|\\
&\leq C\sum_{Q=I\times J\in\mathcal{A}}\|f\|_{L^r(F^{-1}(I))}\|g\|_{L^{l'}(F^{-1}(J))}\\
&= C\sum_{Q=I\times J\in\mathcal{A}}|I|^{1/r}\|g\|_{L^{l'}(F^{-1}(J))}\\
&\leq C\sum_{k\geq0}2^{-k/r}\sum_{|J|=2^{-k}}\|g\|_{L^{l'}(F^{-1}(J))}\\
&\leq C\sum_{k\geq0}2^{-k/r}\|g\|_{L^{l'}}2^{-k/l}\leq C.
\end{aligned}
$$最后一步是因为$r<l$. 根据对偶, 命题得证. Q. E. D.

      据此引理, 定理 2.1. 中的 (ii) 式可改进为对 Duhamel 公式的估计:

      定理 2.1.(续) 对任何$t\in\mathbb{R}$, 都有
$$\left\|\int_{-\infty}^t e^{i(t-s)\Delta}g(\cdot,s)ds\right\|_{L^q_tL^p_x}\leq C\|g\|_{L^{a'}_tL^{b'}_x}.\tag{ii'}$$

      这样一来, 如果$f\in L^2_x$, 则可以知道$e^{it\Delta}f$对几乎所有$t$都属于$L_x^p$, 其中$2\leq p\leq p(n)$. 一个特别的情形是$n=1$而$(p,q)=(\infty,4)$, 这时根据光滑函数逼近可见, 若$f\in L^2_x$, 则对于几乎所有的$t$, $e^{it\partial_x^2}f$都是$x$的有界连续函数. 进一步地, 对于初值问题$\partial_tu=i\Delta u+F,\,u(\cdot,0)=u_0$的解, Strichartz 估计给出了其属于$L_t^qL_x^p$类的解的估计. 这些估计可以用来建立拟线性薛定谔方程解的存在性.

      最后, 容易将 Strichartz 估计推广至更一般的函数空间里. 注意到$\langle D\rangle^s$同$e^{it\Delta}$可交换, 所以 Strichartz 估计中所有的$L_x^\rho$都可以直接改成$H_x^{s,\rho}$. 向 Besov 空间的推广也很容易做到, 例如对于容许指标对$(p,q)$和$f\in B^s_{2,2}=H^{s}$, 由于$q>2$, 可算得$$
\begin{aligned}
\|e^{it\Delta}f\|^2_{L^q_tB^s_{p,2}}
&=\left\|\left(\sum_{j\geq0}2^{2sj}\|e^{it\Delta}P_jf\|^2_{L_x^p}\right)^{1/2}\right\|_{L_t^q}^2\\
&=\left\|\sum_{j\geq0}2^{2sj}\|e^{it\Delta}P_jf\|^2_{L_x^p}\right\|_{L_t^{q/2}}\\
&\leq \sum_{j\geq0}\left\|2^{2sj}\|e^{it\Delta}P_jf\|^2_{L_x^p}\right\|_{L_t^{q/2}}\\
&=\sum_{j\geq0}2^{2sj}\|e^{it\Delta}P_jf\|^2_{L_t^qL_x^p}\\
&\leq C\sum_{j\geq0}2^{2sj}\|P_jf\|^2_{L_x^2}=C\|f\|^2_{B^s_{2,2}},
\end{aligned}
$$其中$P_j$是第$j$个 Littlewood-Paley 构造模块. 标准 Strichartz 估计要用到的 Christ-Kiselev 引理也可以直接推广. 总的来说, 定理 2.1. 可以推广为

      定理 2.1'. 设$(\rho,r),(b,a)$是$e^{it\Delta}$的容许指标对, $s\in\mathbb{R}$. 则成立下列估计:
$$\|e^{it\Delta}f\|_{L^r_tB^s_{\rho,2}}\leq C\|f\|_{B^s_{2,2}},\tag{i}$$ $$\left\|\int_{-\infty}^t e^{i(t-t')\Delta}g(\cdot,t')dt'\right\|_{L^r_tB^s_{\rho,2}}\leq C\|g\|_{L^{a'}_tB^{s}_{b',2}},\tag{ii}$$ $$\left\|\int_{-\infty}^\infty e^{it'\Delta}g(\cdot,t')dt'\right\|_{B^s_{2,2}}\leq C\|g\|_{L^{r'}_tB^s_{\rho',2}}.\tag{iii}$$
类似的结论对于齐次 Besov 空间也成立.

3. 群$\{e^{it\Delta}\}_{t\in\mathbb{R}}$的局部正则化效应

      尽管$e^{it\Delta}$的作用对空间正则性的改善远不能和椭圆算子/热算子的 Green 算子相比, 但还是有一些比较弱的结论的; 它可以提升函数的分数阶可微性. 有如下定理:

      定理 3.1. 如果$n=1$, 则$$
\sup_{x}\int_{-\infty}^\infty|D^{1/2}e^{it\partial_x^2}f(x)|^2dt\leq C\|f\|_2^2.
$$如果$n\geq2$, 则对于任何$1\leq j\leq n$, $$
\sup_{x_j}\int_{\mathbb{R}^{n-1}_x\times\mathbb{R}_t}|D_j^{1/2}e^{it\Delta}f(x)|^2d\mu_jdt\leq C\|f\|_2^2,
$$其中$d\mu_j=dx_1...d\hat x_j...dx_n$.
      
      证明. 在高维情形中不妨设$j=1$. 只需要研究$\hat f(\xi)$支撑于半空间$\xi_1\geq0$的情形就够了. 固定$x_1$, 命$\bar x=(x_2,...,x_n)$, $\bar\xi=(\xi_2,...,\xi_n)$. 算出$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^{n-1}_x\times\mathbb{R}_t}&|D_1^{1/2}e^{it\Delta}f(x)|^2dx_2...dx_ndt\\
&=\int_{\mathbb{R}^{n-1}_x\times\mathbb{R}_t}\left|\int_{\mathbb{R}^n}|\xi_1|^{1/2}e^{it|\xi|^2+ix\xi}\hat{f}(\xi)d\xi\right|^2d\bar xdt.
\end{aligned}
$$在频域上作换元$(\xi_1,...,\xi_n)\to(r,\bar\xi)=(|\xi|^2,\bar\xi)$. 则体积元素变为$d\xi_1d\bar\xi=|\xi|^{-1}drd\bar\xi$. 上面等式的右边等于$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^{n-1}_x\times\mathbb{R}_t}\left|\int_{\mathbb{R}^n}e^{i(tr+\bar x\bar\xi)}e^{ix_1\sqrt{r-|\bar\xi|^2}}|\xi_1|^{-1/2}\hat{f}(\xi)drd\bar\xi\right|^2d\bar xdt.
\end{aligned}
$$定义最内层的函数$e^{ix_1\sqrt{r-|\bar\xi|^2}}|\xi_1|^{-1/2}\hat{f}(\xi)=:\hat g(r,\bar\xi)$, 则内层的积分等于$g(t,\bar x)$, 于是根据 Plancherel 定理, 原来的式子等于$$
\begin{aligned}
\|g(t,\bar x)\|_{L_{t\bar x}^2}^2&=\|\hat{g}(r,\bar\xi)\|^2_{L_{r\bar\xi}}\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}|\xi_1|^{-1}|\hat{f}(\xi)|^2drd\bar\xi\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}|\hat{f}(\xi)|^2d\xi=\|f\|_{L^2}^2.
\end{aligned}
$$在一维的情形, 只需要修正为在频域上作换元$\xi\to r=\xi^2$即可. Q. E. D.

      推论 3.2. 对于任何半径为$R$的球$B_R\subset\mathbb{R}^n$,有$$
\||D|^{1/2}e^{it\Delta}f\|_{L^2_t(\mathbb{R};L^2_x(B_R))}\leq CR^{1/2}\|f\|_{L^2_x}.
$$

      证明. 在高维情形, 根据积分的平移不变性, 只需证明$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{|x|<R}|e^{it\Delta}f(x)|^2dxdt\leq CR\||D|^{-1/2}f\|_{L_x^2}^2.
$$定义锥体$\Gamma_j=\{|\xi_j|>|\xi|/(4n)\}$, 则显然$\cup_{j=1}^n\Gamma_j=\mathbb{R}\setminus\{0\}$; 设$\{\phi_j\}_{j=1}^n$是从属于此覆盖的光滑单位分解, 并命$\hat f_j=\hat f\cdot\phi_j$. 根据定理 3.1., 对任何$j$都有$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{|x|<R}|e^{it\Delta}g(x)|^2dxdt\leq CR\|D_j^{-1/2}g\|_{L_x^2}^2.
$$于是$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^\infty\int_{|x|<R}|&e^{it\Delta}f(x)|^2dxdt
\leq\sum_{j=1}^n\int_{-\infty}^\infty\int_{|x|<R}|e^{it\Delta}f_j(x)|^2dxdt\\
&\leq CR\sum_{j=1}^n\|D_j^{-1/2}f_j\|_{L_x^2}^2\\
&= CR\sum_{j=1}^n\int_{\Gamma_j}|\xi_j|^{-1}|\hat f(\xi)|^2\phi_j^2d\xi\\
&\leq CR\sum_{j=1}^n\int_{\Gamma_j}|\xi|^{-1}|\hat f(\xi)|^2d\xi\\
&\leq CR\int_{\mathbb{R}^n}|\xi|^{-1}|\hat f(\xi)|^2d\xi=CR\||D|^{-1/2}f\|_{L_x^2}^2.
\end{aligned}
$$在一维情形则直接在长度为$2R$的区间上对$x$积分即可. Q. E. D.

      这样一来, 对几乎所有的$t$, $|D|^{1/2}e^{it\Delta}f\in L^2_{\text{loc},x}$. 这是仅有的关于算子$e^{it\Delta}$的正则性结论了: 它可以在时间平均的意义下将空间可微性提升 1/2 次.

4. 非线性薛定谔方程 (NLS) 的初值问题: 初等结论/古典解

      接下来几节讨论非线性薛定谔方程. 要讨论的方程具有如下形式:$$
i\partial_tu=-\Delta u-\lambda|u|^{\alpha-1}u,\,u(\cdot,0)=u_0\in L^2_x.
$$这里$\alpha>1,\lambda\in\mathbb{R}$都是常数. 若$\lambda>0$, 则方程称为聚焦 (focusing) 的, 若$\lambda<0$则称为散焦 (defocusing) 的. 由于对空间的导数可能会产生正则性问题, 所以一般将问题理解为某个含时分布空间上的积分方程:$$
u(t)=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)\right]ds.\tag{NLS-IVP}
$$需要注意, 即便此积分方程可解, 也并不能保证$\partial_t$是由可积函数代表的分布, 所以仍旧不能通过分布意义下的$\partial_tu=i\Delta u+...$给出空间正则性.

      但如果预先假定解有足够好的正则性, 则上面的积分方程等价于原微分方程, 而且立即得到到三个守恒律: 将方程两边乘以$\bar u$, 比较虚部并对$x$积分即得质量守恒$$
M(u):=\|u\|^2_{L^2_x}=\|u_0\|^2_{L^2_x};
$$将方程两边乘以$\nabla \bar u$, 比较实部并对$x$积分即得动量守恒$$
P(u):=\int_{\mathbb{R}^n}\text{Im}(u\nabla \bar u)dx=\int_{\mathbb{R}^n}\text{Im}(u_0\nabla \bar u_0)dx;
$$将方程两边乘以$\partial_t\bar u$, 比较虚部得$$
\Delta u\partial_t\bar u+\Delta\bar u\partial_tu+\lambda|u|^{\alpha-1}\partial_t|u|^2=0,
$$
对$x$积分得$$
\begin{aligned}
E(u)&:=\int_{\mathbb{R}^n}\left(|\nabla u|^2-\frac{2\lambda}{\alpha+1}|u|^{\alpha+1}\right)dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\left(|\nabla u_0|^2-\frac{2\lambda}{\alpha+1}|u_0|^{\alpha+1}\right)dx,
\end{aligned}
$$
即能量守恒. 这三个守恒律在建立长时间可解性的时候会很有用.

      如果$\alpha$是奇数, 那么问题 (NLS-IVP) 就称作是代数的. 这时, 非线性项是$u$的光滑函数. 可视之为如下更宽泛的问题的特例:$$
u(t)=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-t')\Delta}F(u(t'))dt',\tag{NLS-Smooth}
$$其中$F:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$是光滑的, $F(0)=0$. 有如下容易得到的适定性定理:

      定理 4.1. 命$s>n/2$. 则给定初值$u_0\in H^s_x$, 存在一个$T=T(F,\|u_0\|_{H^s_x})>0$, 使得问题 (NLS-Smooth) 有唯一一个属于$C^0([-T,T];H^s_x)$的解. 解映射$u_0\to u$是局部 Lipschitz 连续的.

      证明. 命空间$\mathfrak{X}_T:=C^0([-T,T];H^s_x)$, 定义其上的映射$\Phi:\mathfrak{X}_T\to\mathfrak{X}_T$为$$
\Phi(u):=e^{it\Delta}u_0+\int_{0}^{t}e^{i(t-t')\Delta}F(u(t'))dt'.
$$只需要证明存在$T=T(F,\|u_0\|_{H^s_x})$和$R=R(\|u_0\|_{H^s_x})$使得$\Phi$是$\mathfrak{X}_T$的闭球$\bar B_T(0,R)$到自己的压缩映射就够了. 对初值的 Lipschitz 依赖性可以从含参数压缩映像原理的一般程式中得出.
      
      证明的关键是如下的 Moser 定理:

      对于一切$s>0$, 若$u\in L^\infty_x\cap H_x^s$, 则$$
\|F(u)\|_{H_x^{s}}\leq \Gamma^s_F(\|u\|_{L^\infty_x})\|u\|_{H_x^s},
$$其中$\Gamma^s_F$是依赖于指标$s$和$F$ (的各阶导数) 的单调增函数; 特别地, $$
\|fg\|_{H^s_x}\leq C(\|f\|_{H^s_x}\|g\|_{L^\infty_x}+\|g\|_{H^s_x}\|f\|_{L^\infty_x}),
$$从而当$s>n/2$时$H^s_x$是一个 Banach 代数.

      由此 Moser 定理和$e^{it\Delta}$的酉性质得到$$
\|\Phi(u)\|_{H^s_x}\leq \|u_0\|_{H^s_x}+\sup_{|t|\leq T}T\Gamma^s_F(\|u(t)\|_{H_x^s})\|u(t)\|_{H_x^s}
$$即$\|\Phi(u)\|_{\mathfrak{X}_T}\leq \|u_0\|_{H^s_x}+T\Gamma^s_F(\|u\|_{\mathfrak{X}_T})\|u\|_{\mathfrak{X}_T}$. 取$R=2\|u_0\|_{H^s_x}$, 则只要命$T=1/(2\Gamma^s_F(R))$即得到$\Phi:\bar B_T(0,R)\to\bar B_T(0,R)$. 压缩性质也可同理得出: 若$u,v\in \bar B_T(0,R)$, 则$$
\Phi(u)-\Phi(v)=\int_{0}^{t}e^{i(t-t')\Delta}\int_0^1F'(\lambda u+(1-\lambda)v)(u-v)(t')dt',
$$于是$$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{\mathfrak{X}_T}&\leq T\sup_{|t|\leq T}\|F(u)-F(v)\|_{H^s_x}\\
&\leq T\sup_{|t|\leq T}\int_0^1\|F'(\lambda u+(1-\lambda)v)\|_{H^s_x}d\lambda\cdot\|u-v\|_{H^s_x}\\
&\leq 2RT\Gamma^s_{F'}(2R)\|u-v\|_{\mathfrak{X}_T}.
\end{aligned}
$$这样只需要再取$T=1/(4R\Gamma^s_{F'}(2R))$即可保证$\Phi$在球$\bar B(0,R)$上的 Lipschitz 常数不大于 1/2. Q. E. D.

      如果将方程 (NLS-Smooth) 两边都用$D$作用, 则得到$$
D u(t)=e^{it\Delta}Du_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-t')\Delta}[F'(u(t'))Du(t')]dt'.
$$这是$Du$的线性方程, 如果$Du_0\in H_x^s$即$u_0\in H_x^{s+1}$, 则可见此关于$Du$的方程有唯一属于$C^0([-T,T];H_x^s)$的解. 于是归纳下去即可看出, 如果$u_0\in\bigcap_{s>0}H_x^s$, 则解也一样. 如果在定理 4.1. 的表述中改用加权 Sobolev 范数$\|f\|_{WH^{k,k}_x}:=\sum_{j=0}^k\|\langle x\rangle^{k-j}D^jf\|_{L^2_x}$, 其中$k>n/2$, 则 Moser 定理也仍旧成立, 从而可以得到类似的存在唯一性结果. 总结一下: 如果初值$u_0$是 Schwartz 函数, 那么就有一时间区间$(-T,T)$使得 (NLS-Smooth) 存在唯一属于$C^0((-T,T);\mathcal{S}_x)$的解. 容易看出这个解对时间的古典导数也是光滑的. 这就说明了非线性薛定谔方程的初值问题$$
\partial_t u=i\Delta u+F(u),\,u(\cdot,0)=u_0\in \mathcal{S}_x
$$的短时古典解的存在唯一性.
      
      当然, 这个方法的缺点也很明显: 它给出的时间区间的估计一般来说是不能扩展得足够长的. 不过此时对于时间区间的估计也并非一无所知. 以代数的 NLS 为例, 则有下列命题:

      命题 4.2. 设$\alpha$是奇数. 设$u\in C^{0}_t(I;H^s_x)$某个 (开) 时间区间$I$上方程 (NLS-Smooth) 的解 (因而$F(z)=\mu|z|^{\alpha-1}z$). 如果$u$的$L^{\alpha-1}_t(I;L^\infty_x)$范数有限, 那么有下列估计:$$
\|u\|_{L^\infty_tH^s_x}\leq \|u_0\|_{H^s_x}\exp\left(C_{s,\lambda,\alpha}\|u\|^{\alpha-1}_{L^{\alpha-1}_tL^\infty_x}\right).
$$

      证明. 只需要注意到, 根据 Moser 定理, 在任何时刻$t$都有$$
\begin{aligned}
\|u(t)\|_{H^s_x}&\leq\|u_0\|_{H^s_x}+|\lambda|\int_0^t\left\||u(t')|^{\alpha-1}u(t')\right\|_{H^s_x}dt'\\
&\leq\|u_0\|_{H^s_x}+C|\lambda|\int_0^t\|u(t')\|_{L_x^\infty}^{\alpha-1}\|u(t')\|_{H^s_x}dt'.
\end{aligned}
$$然后利用 Gronwall 不等式就可以了. Q. E. D.

      于是, 对于代数的 NLS, 在$s>n/2$的情况下, 若讨论初值问题$$
u(t)=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_0^te^{i(t-t')\Delta}|u(t')|^{\alpha-1}u(t')dt',\,u_0\in H^s_x,
$$那么在任何一个$C^0_tH^{\sigma}_x,\,n/2<\sigma\leq s$中解此方程得到的存在时间区间都一样, 因为在最高次数的$C_t^0H^s_x$中得到的解的$L^{\alpha-1}_tL^\infty_x$范数局部有限. 这叫做正则性保持 (persistence of regularity), 有强适定性结论的演化方程都有这样的现象. 特别地, 如果初值$u_0$是 Schwartz 函数, 那么存在一个极大时间区间$I$使得解$u\in C^\infty(I;\mathcal{S}_x)$, 而当时间$t$逼近区间端点时, 只要$s>n/2$, $\|u(t)\|_{H_x^s}$就是无界的 (不然可以继续延拓下去). 这就是所谓的爆破 (blow-up).

5. NLS 的广义解 (1): 初值为$L^2$的情形

      还是来看问题$$
u(t)=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)\right]ds.\tag{NLS-IVP}
$$先来考虑问题 (NLS-IVP) 的初值属于$L^2_x$类的一般情形.

      如果$u(x,t)$是初值问题 (NLS-IVP) 的解, 那么$u_\mu(x,t):=\mu^{2/(\alpha-1)}u(\mu x,\mu^2t)$仍是原方程的解, 不过初值变成了$u_{\mu0}=\mu^{2/(\alpha-1)}u_0(\mu x,0)$. 于是根据质量守恒律, $\|u_\mu\|_{L_x^2}=\|u_{\mu0}\|_{L_x^2}=\mu^{2/(\alpha-1)-n/2}\|u_0\|_{L_x^2}$. 如果要研究初值问题的适定性, 那么应期望与零偏差很小的初值给出的解与零解的偏差是可控的; 特别地, 应该期望当$\mu\to0$时$\|u_\mu\|_{L_x^2}$至少应该保持有界. 这就要求$1<\alpha\leq1+4/n$. 如果$1<\alpha<1+4/n$, 则称问题为$L^2$-次临界的 ($L^2$-subcritical); 如果$\alpha=1+4/n$, 则称问题为$L^2$-临界的 ($L^2$-critical).

      进一步地, 由能量守恒律, 应期望$u\in L_x^{\alpha+1}$, 于是根据 Strichartz 估计 (定理 2.1.) 的 (ii') 式, 应期望 Duhamel 原理给出的积分属$L_t^rL_x^{\alpha+1}$类, 其中$(\alpha+1,r)$是$e^{it\Delta}$的容许指标对即$r=4(\alpha+1)/[n(\alpha-1)]$. 注意到$1+\alpha\leq2+4/n<2n/(n-2)$, 所以容许指标对是良好定义的. 在这些限制之下, 就有了如下的$L^2$-次临界情形的短时适定性定理:

      定理 5.1. 设$1<\alpha<1+4/n$. 对于初值$u_0\in L^2_x$, 存在$T=T(\|u_0\|_{L^2_x},n,\lambda,\alpha)>0$使得问题 (NLS-IVP) 有唯一解$$
u\in C^0([-T,T];L^2_x)\cap L^r_t([-T,T];L^{\alpha+1}_x)=:\mathfrak{X}^0_T,
$$其中$(\alpha+1,r)$是$e^{it\Delta}$的容许指标对, 即$r=4(\alpha+1)/[n(\alpha-1)]$, 空间$\mathfrak{X}^0_T$的范数自然定义为$\|\cdot\|_{C^0_tL_x^2}+\|\cdot\|_{L^r_tL_x^{\alpha+1}}$. 进一步地, 对于$T'<T$, 有一$u_0$的邻域$V$使得解映射$V\to \mathfrak{X}^0_{T'},\,u_0\to u$是 Lipschitz 连续的. 另外, 根据 Strichartz 估计, 对于任何$e^{it\Delta}$的容许指标对$(p,q)$, $u\in L_t^q([-T,T];L_x^p)$.

      证明. 给定$u_0\in L^2_x$和$T>0$, 定义映射$\Phi:\mathfrak{X}^0_T\to\mathfrak{X}^0_T$为$$
\Phi(u):=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)\right]ds.
$$只需要证明存在$T=T(\|u_0\|_{L^2_x},n,\lambda,\alpha,)>0$和$R=R(\|u_0\|_{L^2_x},n,\alpha,)>0$使得$\Phi:\mathfrak{X}^0_T\to\mathfrak{X}^0_T$是$\mathfrak{X}^0_T$的闭球$\bar{B}_T(0,R)$上的压缩映射就够了; 对初值的 Lipschitz 依赖性可以从含参数压缩映像原理的一般程式中得出.

      $\Phi$的良定义性可从 Strichartz 估计 (定理 2.1.) 的 (i)(ii') 得出 (注意$2<\alpha+1<2n/(n-2)$). 设$u\in\mathfrak{X}^0_T$. 根据条件, $((1+1/\alpha)',r)$正好是$e^{it\Delta}$的容许指标对. 应用 Strichartz 估计得到$$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)\|_{L^r_tL^{\alpha+1}_x}
&\leq \|e^{it\Delta}u_0\|_{L^r_tL^{\alpha+1}_x}+|\lambda|\left\|\int_{0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)\right]ds\right\|_{L^r_tL^{\alpha+1}_x}\\
&\leq C\|u_0\|_{L^2_x}+C|\lambda|\| |u|^\alpha\|_{L^{r'}_tL^{1+1/\alpha}_x}\\
&=C\|u_0\|_{L^2_x}
+C|\lambda|\left(\int_{-T}^T\| |u(s)|^\alpha\|^{r'}_{L^{1+1/\alpha}_x}ds\right)^{1/r'}.\\
&=C\|u_0\|_{L^2_x}
+C|\lambda|\left(\int_{-T}^T\|u(s)\|^{\alpha r'}_{L^{1+\alpha}_x}ds\right)^{1/r'}.
\end{aligned}
$$由$r=4(\alpha+1)/[n(\alpha-1)]$推出$\alpha r'<r$, 于是由 Hölder 不等式有$$
\|\Phi(u)\|_{L^r_tL^{\alpha+1}_x}\leq C\|u_0\|_{L^2_x}+C|\lambda|(2T)^{\theta}\|u\|^\alpha_{L^{r}_tL^{1+\alpha}_x},\tag{1}
$$其中$\theta=1/r'-\alpha/r=1-n(\alpha-1)/4>0$. 又根据定理 2.1. 的 (iii) 式得$$
\begin{aligned}
\sup_{|t|\leq T}\|\Phi(u)\|_{L^{2}_x}
&\leq \sup_{|t|\leq T}\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{2}_x}+|\lambda|\sup_{|t|\leq T}\left\|\int_{0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)\right]ds\right\|_{L^2_x}\\
&=\|u_0\|_{L^2_x}+|\lambda|\sup_{|t|\leq T}\left\|\int_{0}^{t}e^{-is\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)\right]ds\right\|_{L^2_x}\\
&\leq \|u_0\|_{L^2_x}
+C|\lambda|\left(\int_{-T}^T\| |u(s)|^\alpha\|^{r'}_{L^{1+1/\alpha}_x}ds\right)^{1/r'}
\end{aligned}\tag{2}
$$而后的计算与前面一样.

      由此可见$\Phi$是良好定义的, 且$$
\|\Phi(u)\|_{\mathfrak{X}^0_T}\leq C\|u_0\|_{L^2_x}+C|\lambda|(2T)^{\theta}\|u\|^\alpha_{L^{r}_tL^{1+\alpha}_x},.
$$于是固定$R=2C\|u_0\|_{L^2_x}$, 取$T\sim_{\alpha,n,\lambda}\|u_0\|_{L^2_x}^{(1-\alpha)/\theta}$即可使得$\|\Phi(u)\|_{L^r_tL^{\alpha+1}_x}\leq R$, 即$\Phi$是闭球$\bar B_T(0,R)$到自己的映射.

      接下来, 取定$R=2C\|u_0\|_{L^2_x},\,T\sim_{\alpha,n,\lambda}R^{(1-\alpha)/\theta}$. 对于$u,v\in\bar B_T(0,R)$, 算出$$
\Phi(u)-\Phi(v)=i\lambda\int_0^te^{i(t-s)\Delta}\left[|u(s)|^{\alpha-1}u(s)-|v(s)|^{\alpha-1}v(s)\right]ds.
$$根据不等式$||z|^{\alpha-1}z-|w|^{\alpha-1}w|\leq C(|z|^{\alpha-1}+|w|^{\alpha-1})|z-w|$, 加上和前面 (1) 式完全一样的推理, 再分别对时间和空间用指标为$\alpha,\alpha/(\alpha-1)$的 Hölder 不等式, 得到$$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{L^r_tL^{\alpha+1}_x}
&\leq C\left\| \left(|u|^{\alpha-1}+|v|^{\alpha-1}\right)|u-v|\right\|_{L^{r'}_tL^{1+1/\alpha}_x}\\
&\leq C|\lambda|T^{\theta}\left\| \left(|u|^{1-1/\alpha}+|v|^{1-1/\alpha}\right)|u-v|^{1/\alpha}\right\|^\alpha_{L^{r}_tL^{1+\alpha}_x}\\
&\leq C|\lambda|T^{\theta}\left[\int_{-T}^T\left(\|u\|_{L^{1+\alpha}_x}^{1-1/\alpha}+\|v\|_{L^{1+\alpha}_x}^{1-1/\alpha}\right)^r
\|u-v\|_{L^{1+\alpha}_x}^{r/\alpha}ds\right]^{\alpha/r}\\
&\leq C|\lambda|T^{\theta}\left(\|u\|_{L_t^rL^{1+\alpha}_x}^{\alpha-1}+\|v\|_{L_t^rL^{1+\alpha}_x}^{\alpha-1}\right)
\|u-v\|_{L_t^rL^{1+\alpha}_x}.
\end{aligned}
$$
与 (2) 式完全一样的推理给出$$
\begin{aligned}
\sup_{|t|\leq T}\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{L^2_x}\leq C|\lambda|T^{\theta}(\|u\|_{L_t^rL^{1+\alpha}_x}^{\alpha-1}+\|v\|_{L_t^rL^{1+\alpha}_x}^{\alpha-1})
\|u-v\|_{L_t^rL^{1+\alpha}_x}.
\end{aligned}
$$综合起来, 在球$\bar B_T(0,R)$上, 有$$
\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{\mathfrak{X}^0_T}\leq C|\lambda|T^\theta R^{\alpha-1}\|u-v\|_{\mathfrak{X}^0_T},
$$因而如果再附加条件$C|\lambda|T^\theta R^{\alpha-1}<1$, 映射$\Phi$就是球$\bar B_T(0,R)$到自己的压缩映射. Q. E. D.

      从上面的证明可以看出, 可以选取$T$使得$T$正比于$\|u_0\|_{L^2_x}$的幂. 但是由于质量$\|u\|_{L^2_x}$守恒 (为了得到广义解的质量守恒, 需要假设初值光滑, 然后利用对初值的连续依赖性来逼近), 所以任何一个短时间解都可以延拓为长时间解. 在足够短的时间区间$I$上, 根据上面的推理, 解$u$属于空间$L^r_t(I;L_x^{\alpha+1})$中的球$B(0,R)$, 于是它适合$$
\|u\|_{L^r_t(I;L_x^{\alpha+1})}\leq C\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^r_t(I;L_x^{\alpha+1})}.
$$这样根据 Strichartz 估计就有下面的推论 (注意, 它与$\lambda$的正负号无关):

      推论 5.2. 设$1<\alpha<1+4/n$. 对于初值$u_0\in L^2_x$, 问题 (NLS-IVP) 有唯一解$$
u\in C^0((-\infty,\infty);L^2_x)\cap L^r_t((-\infty,\infty),L^{\alpha+1}_x)
$$其中$(\alpha+1,r)$是$e^{it\Delta}$的容许指标对, 即$r=4(\alpha+1)/[n(\alpha-1)]$. 解映射$u_0\to u$是局部 Lipschitz 连续的.

      由于$\alpha$太小, 所以上一节中直接求微分来估计 Sobolev 范数的办法是不适用的. 这个方向上的问题更加复杂, 涉及到对复合函数的分数阶导数的估计, 但相应的结果也仍旧成立.

      然后来看$L^2$-临界情形. 这时$\alpha=1+4/n$, 从而$(\alpha+1,\alpha+1)$是容许指标对. 短时存在性定理如下:

      定理 5.3. 设$\alpha=1+4/n$. 对于初值$u_0\in L^2_x$, 存在$T=T(u
_0,n,\lambda)>0$使得问题 (NLS-IVP) 有唯一解$$
u\in C^0([-T,T];L^2_x)\cap L^{\alpha+1}_t([-T,T];L^{\alpha+1}_x)=:\mathfrak{X}^0_T,
$$其中空间$\mathfrak{X}^0_T$的范数自然定义为$\|\cdot\|_{C^0_tL_x^2}+\|\cdot\|_{L^r_tL_x^{\alpha+1}}$. 进一步地, 对于$T'<T$, 有一$u_0$的邻域$V$使得解映射$V\to \mathfrak{X}^0_{T'},\,u_0\to u$是 Lipschitz 连续的. 另外, 根据 Strichartz 估计, 对于任何$e^{it\Delta}$的容许指标对$(p,q)$, $u\in L_t^q([-T,T];L_x^p)$.

      证明. 重复次临界情形的证明; 唯一的区别是$\Phi$的估计中$\theta=1/r'-\alpha/r=1-n(\alpha-1)/4=0$; 这样一来, 对映射$\Phi$的估计就退化为$$
\|\Phi(u)-e^{it\Delta u_0}\|_{\mathfrak{X}^0_T}\leq C|\lambda|\|u\|^\alpha_{L^{\alpha+1}_tL^{1+\alpha}_x},
$$ $$
\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{\mathfrak{X}^0_T}
\leq C|\lambda|(\|u\|_{L_t^{\alpha+1}L^{1+\alpha}_x}^{\alpha-1}+\|v\|_{L_t^{\alpha+1}L^{1+\alpha}_x}^{\alpha-1})\|u-v\|_{\mathfrak{X}^0_T},
$$这样就要转而考虑$\mathfrak{X}^0_T$中的球$\bar B_T(e^{it\Delta}u_0,R)$. 将$T=T(u_0)$取得足够小, 使得$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{\alpha+1}_tL_x^{\alpha+1}}<R$. 注意这是利用了函数$t\to\|e^{it\Delta}u_0\|^q_{L_x^{\alpha+1}}$的绝对连续性, 因而不仅仅和$u_0$的大小有关, 也和它的"位置"有关. 对于$u\in\bar B_T(e^{it\Delta}u_0,R)$, 自然有$$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)-e^{it\Delta u_0}\|_{\mathfrak{X}^0_T}&\leq C|\lambda|\|u\|^\alpha_{L^{\alpha+1}_tL^{1+\alpha}_x}\\
&\leq C|\lambda|\|u-u_0\|^\alpha_{L^{\alpha+1}_tL^{1+\alpha}_x}+CR^\alpha\\
&\leq C|\lambda|R^\alpha+CR^\alpha.
\end{aligned}
$$从而只要$R$满足$C|\lambda|R^\alpha+CR^\alpha\leq R$, 那么$\Phi$就把球$\bar B_T(e^{it\Delta}u_0,R)$映射到自己. 接下来再适当缩小$R$, 便可见$\Phi$定义了此球上的压缩映射. Q. E. D.

      从上面的证明可以看出, 如果$\|u_0\|_{L_x^2}$本身就足够小, 那么按照质量守恒律, $\|u(t)\|_{L_x^2}\equiv\|u_0\|_{L_x^2}$, 而 Strichartz 估计则显示出$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{\alpha+1}_tL_x^{\alpha+1}}$非常小. 这样一来, 时间区间$T$就可以取得任意长. 于是就有了$L^2$-临界情形的长时间适定性定理:

      推论 5.4. 设$\alpha=1+4/n$. 存在一个$\delta>0$, 使得只要初值$\|u_0\|_{L^2_x}<\delta$, 问题 (NLS-IVP) 就有唯一解$$
u\in C^0((-\infty,\infty);L^2_x)\cap L^{\alpha+1}_t((-\infty,\infty),L^{\alpha+1}_x).
$$解映射$u_0\to u$是局部 Lipschitz 连续的.

6. NLS 广义解 (2): Sobolev 空间中 NLS 的短时适定性

      固定$s\geq0$. 设问题$$
u(t)=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-t')\Delta}\left[|u(t')|^{\alpha-1}u(t')\right]dt'.\tag{NLS-IVP}
$$的初值在$H^s$中. 作尺度变换$u_\mu(x,t):=\mu^{2/(\alpha-1)}u(\mu x,\mu^2t)$, 则$\|u_\mu\|_{\dot H_x^s}=\mu^{2/(\alpha-1)-n/2+s}\|u\|_{\dot H_x^s}$ (注意, 如果$s>0$则$\|u\|_{\dot H^s_x}$不守恒). 和$L^2$情形一样, 如果要求问题的适定性, 则应该期望$\mu\to0$时$\|u_\mu\|_{\dot H_x^s}$的大小应该可控, 于是就有合理的要求$s\geq s_c=n/2-2/(\alpha-1)$. 指标$s_c$称作临界指标. 如果$s>s_c$, 则问题称为$H^s$-次临界的; 如果$s=s_c$则称为$H^s$-临界的; $s<s_c$则称为$H^s$-超临界 (supercritical) 的. 超临界问题的性态极为复杂. 目前只能对次临界和临界的情形建立较好的适定性理论.

      有趣的是, 在 Staffilani (这就是我的导师) 和加藤敏夫的工作之前, 为了得到形如$u\in C^0_tH^s_x\cap L_t^rH_x^{s,\rho}$的结论, 人们不得不引进 Besov 空间, 相应的结论要变成$u\in C^0_tH^s_x\cap L_t^rB^{s}_{\rho,2}$. 不过由于 Besov 空间可以嵌入 Sobolev 空间中, 所以尽管使用了迂曲的办法, 最终却还是可以得到 Sobolev 空间中的结论, 而且所得的正则性实际上比 Sobolev 空间的还强, 因为 Besov 空间的范数较 Sobolev 范数为强.

      为了完整起见, 这则笔记对于$H^s$适定性问题采用 Sobolev 空间的框架. 首先要使用一个 Sobolev 范数的非线性估计定理. 它由加藤敏夫在 [K] 中给出, 可以算是 Moser 定理的推广:

      定理 6.1. 设$\alpha>1$, $m\leq\alpha$, $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$是$C^m$类函数, 且对于$0\leq k\leq m$, $|\nabla^kf(z)|\leq C|z|^{\alpha-k}$. 则对于$s\in[0,m]$, 下列估计成立:$$
\|f(u)\|_{H^{s,r}}\leq C\|u\|_{L^q}^{\alpha-1}\|u\|_{H^{s,p}},
$$其中$$
\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{\alpha-1}{q},\,p,q,r\in(1,\infty).$$

      证明. 利用$s\in(0,1)$时的$\|f(u)\|_{H^{s,r}}\leq C\|f'(u)\|_{L^q}\|u\|_{H^{s,p}}$, $1/r=1/p+1/q$以及分数阶导数的 Leibniz 律 (这都是 Littlewood-Paley 理论的结论), 然后对$s$的整数部分进行归纳: 若对某个$s$此命题已经得证 (对于不大于 1 的$s$这当然已经得证), 则$$
\begin{aligned}
\|\langle D\rangle^{s+1}f(u)\|_{r}&\leq C(\|\langle D\rangle^{s}f(u)\|_{r}+\|\langle D\rangle^{s}Df(u)\|_{r}),
\end{aligned}
$$由归纳假设, 只需要研究后一项, 而后一项可估计如下:$$
\begin{aligned}
\|\langle D\rangle^{s}Df(u)\|_{r}&=\|\langle D\rangle^{s}[f'(u)Du]\|_{r})\\
&\leq C\|f'(u)\|_{q/(\alpha-1)}\|\langle D\rangle^{s}Du\|_p+C\|\langle D\rangle^{s}f'(u)\|_{\tau}\|Du\|_\sigma,
\end{aligned}
$$其中$1/r=1/\tau+1/\sigma$; 根据归纳假设和$f'$的估计又只需要研究后一项. 这后一项中, $f'$适合定理所列的条件 ($\alpha$换成$\alpha-1$), 于是根据归纳假设得到$$
\|\langle D\rangle^{s}f'(u)\|_{\tau}\|Du\|_\sigma\leq C\|u\|^{\alpha-2}_q\|\langle D\rangle^{s}u\|_\rho\|Du\|_\sigma,
$$其中$1/\rho+(\alpha-2)/q=1/\tau$. 这对于一般的$\rho,\sigma\in(1,\infty)$都成立. 取$$
\frac{1}{\rho}=\frac{s}{(s+1)p}+\frac{1}{(s+1)q},\,\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{(s+1)p}+\frac{s}{(s+1)q}.
$$利用 Littlewood-Paley 不等式立得$$
\|\langle D\rangle^{s}u\|_\rho\leq C\|\langle D\rangle^{s+1}u\|^{s/(s+1)}_p\|u\|^{1/(s+1)}_q,$$ $$
\|Du\|_\sigma\leq C\|\langle D\rangle^{s+1}u\|^{1/(s+1)}_p\|u\|^{s/(s+1)}_q.
$$带回原式即得结论. Q. E. D.

      有了这个辅助命题, 就可以建立如下的$H^s$-次临界和临界适定性定理:

      定理 6.2. 设$0\leq s<n/2$, $1<\alpha\leq1+4/(n-2s)$, $[s]+1\leq\alpha$ (如果$s$是整数则设$s\leq\alpha$). 固定$e^{it\Delta}$的容许指标对$$
(\rho,r)=\left(\frac{n(\alpha+1)}{n+s(\alpha-1)},\frac{4(\alpha+1)}{(\alpha-1)(n-2s)}\right).
$$则对于初值$u_0\in H^s_x$, 存在$T=T(u_0,n,s,\alpha,\lambda)$使得问题 (NLS-IVP) 在空间$$
C^0_t([-T,T];H^s_x)\cap L^r_t([-T,T]; H^{s,\rho}_x)
$$中有唯一解. 在次临界情形, $T$可取为$\|u_0\|_{H^s}$的幂. 对任何容许指标对$(p,q)$, $u\in L^q_t([-T,T]; H^{s,p}_x)$. 如果在$H^s$的范数下序列$u_0^{(k)}\to u_0$, 那么对于$T'<T$, 相应的解序列$u_k$既按照$L^q_t([-T',T'];L^p_x)$的范数收敛到$u$, 也按照$C^0_t([-T',T'];H_x^{s-\epsilon})$的范数收敛到$u$.

      证明. 前一节的构造要稍稍修正一下. 给定$T>0$, 定义空间$\mathfrak{X}^s_T:=L^r_t([-T,T]; H^{s,\rho}_x)$, 以及$\mathfrak{X}^s_T$上的映射$\Phi$为$$
\Phi(u):=i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-t')\Delta}\left[|u(t')|^{\alpha-1}u(t')\right]dt'.
$$固定容许指标对$(p,q)$. 命$1/\rho^*=1/\rho-s/n$, 则有$1/\rho'=1/\rho+(\alpha-1)/\rho^*$. 于是根据 Strichartz 估计和非线性估计定理, 再根据 Sobolev 嵌入定理$H^{s,\rho}\hookrightarrow L^{\rho^*}$和 Hölder 不等式, $$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)\|_{L^q_t H^{s,p}_x}&\leq C|\lambda|\||u|^{\alpha-1}u\|_{L^{r'}_tH^{s,\rho'}_x}\\
&=C\left(\int_{-T}^T \| |u(t')|^{\alpha-1}u(t') \|_{H^{s,\rho'}_x}^{r'}dt'\right)^{1/r'}\\
&\leq C\left(\int_{-T}^T \|u(t')\|_{L_x^{\rho^*}}^{(\alpha-1)r'}\|u(t')\|_{H^{s,\rho}_x}^{r'}dt'\right)^{1/r'}\\
&\leq C\left(\int_{-T}^T \|u(t')\|_{H^{s,\rho}_x}^{\alpha r'}dt'\right)^{1/r'}\\
&\leq CT^\delta \|u\|^\alpha_{L^r_tH^{s,\rho}_x},
\end{aligned}
$$其中$\delta=1/r'-\alpha/r\geq0$. 这也就是为什么要让指标$\rho=\frac{n(\alpha+1)}{n+s(\alpha-1)}$: 为了用$H^{s,\rho}$范数控制非线性估计定理给出的 Lebesgue 空间范数, 就要凑出$\rho^*$次幂, 而这样$\rho$就只能有上面这一个选择了.

      先取$(p,q)=(\rho,r)$即得$\Phi:\mathfrak{X}^s_T\to \mathfrak{X}^s_T$, 后取$(p,q)=(2,\infty)$即得$\Phi:\mathfrak{X}^s_T\to C^0([-T,T];H^s_x)$. 接下来, $$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{L^q_tL^{p}_x}
&\leq C\left\| (|u|^{\alpha-1}+|v|^{\alpha-1})|u-v|\right\|_{L^{r'}_tL^{\rho'}_x}\\
&=C\left(\int_{-T}^T\left\| (|u|^{\alpha-1}+|v|^{\alpha-1})|u-v|\right\|^{r'}_{L^{\rho'}_x}dt'\right)^{1/r'}.
\end{aligned}
$$根据 Hölder 不等式和 Sobolev 嵌入定理, 得到$$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)-\Phi(v)\|_{L^q_tL^{p}_x}
&\leq C\left[\int_{-T}^T \left(\|u\|^{(\alpha-1)r'}_{L_x^{\rho^*}}+\|v\|_{L_x^{\rho^*}}^{(\alpha-1)r'}\right)\cdot\|u-v\|^{r'}_{L^{\rho}_x}dt'\right]^{1/r'}\\
&\leq C\left[\int_{-T}^T \left(\|u\|^{(\alpha-1)r'}_{H^{s,\rho}_x}+\|v\|_{H^{s,\rho}_x}^{(\alpha-1)r'}\right)\cdot\|u-v\|^{r'}_{L^{\rho}_x}dt'\right]^{1/r'}\\
&\leq CT^\delta\left(\|u\|^{\alpha-1}_{L_t^rH^{s,\rho}_x}+\|v\|_{L_t^rH^{s,\rho}_x}^{\alpha-1}\right)\|u-v\|^{r'}_{L_t^rL^{\rho}_x}.
\end{aligned}
$$

      定义$\bar B_R:=\{u:\|u\|_{L_t^rH^{s,\rho}_x}\leq R\}$. 注意到$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L_t^rH^{s,\rho}_x}\leq C\|u_0\|_{H^s}$; 取定$R=4C\|u_0\|_{H^s}$. 于是$$
\begin{aligned}
\left\|e^{it\Delta}u_0+\Phi(u)\right\|_{L_t^r([-T,T];H^{s,\rho}_x)}
&\leq \|e^{it\Delta}u_0\|_{L_t^r([-T,T];H^{s,\rho}_x)}+CT^\delta R^\alpha\\
&\leq R/2+CT^\delta R^\alpha.
\end{aligned}
$$若是次临界情形 ($\delta>0$), 取$T\sim R^{(1-\alpha)/\delta}$; 若是临界情形 ($\delta=0$), 就将$T$取得足够小使得$R\sim\|e^{it\Delta}u_0\|_{L_t^r([-T,T];H^{s,\rho}_x)}$本身就非常小. 不论是哪种情形, 这都保证$u\to e^{it\Delta}u_0+\Phi(u)$将$\bar B_R$映射到自己. 接下来, 定义集合$\bar B_R$上的度量$d(u,v)=\|u-v\|_{L_t^rL_x^\rho}$. 由于$L_t^rH^{s,\rho}_x$是自反的, 于是$\bar B_R$在$L_t^rH^{s,\rho}_x$的弱拓扑下为紧, 故$(\bar B_R,d)$实际上成为一完备度量空间. 再将$T$取小一点, 可见$u\to e^{it\Delta}u_0+\Phi(u)$将是$(\bar B_R,d)$上的压缩映射. 它的不动点$u$自然地适合定理所要求的一切性质. 解在空间$C^0_t([-T',T'];H_x^{s-\epsilon})$中对初值的连续依赖性可以由插值不等式$\|u\|_{H_x^{s-\epsilon}}\leq C\|u\|_{L_x^2}^{s/\epsilon}\|u\|^{1-s/\epsilon}_{H_x^{s}}$立即看出. Q. E. D.

      从上面的证明可以看出, 对于任何一个容许指标对$(p,q)$, 解都属于$L^q_tH^{s,p}_x$类. 解在这一类中的唯一性也可以据此得到证明. 对于初值$u_0\in H^s$, 设 (NLS-IVP) 是次临界或临界的, 其$C^0_tH_x^s$类解的极大存在区间为$I=(-T_*,T^*)$. 如果$T^*<\infty$, 则显然$t\to T^*$时$\|u(t)\|_{H_x^s}\to\infty$; 对$T_*$同理. 另外, 根据 Cazenave 和 Weissler [CW], 非线性估计定理对于 Besov 空间也是成立的, 故以上的证明中的$H^{s,\rho}_x$都可以直接修改为$B^s_{\rho,2}$, 即比 Sobolev 空间更强的空间正则性.

      如果$s$是整数, 那么解对初值的连续依赖性可以提高到$H^s$范数, 因为这时可以直接对原方程微分$s$次而得到关于$D^su$的线性方程, 而后对微分的次数做归纳即得结论.

      然后来看存在时间区间本身; 大致来说, 也可以得到正则性保持的结论, 即在高阶 Sobolev 空间和低阶 Sobolev 空间中解方程得到的存在时间区间一样, 或者说, "从低正则性的观点出发"也不能延长存在时间区间: 设$0\leq s_1\leq s_2$使得$\alpha\leq1+4/(n-2s_1)$且$[s_2]+1<\alpha$ (如果$s_2$是整数则设$s_2\leq\alpha$), 那么对于属$H_x^{s_2}$的初值$u_0$, 在$C_t^0H_x^{s_1}$和在$C_t^0H_x^{s_2}$中解此方程的存在时间区间是一样的. 为了得到这个结论, 需要将上面的证明再做一些精细的修正: 将相应于$s_{1,2}$的指标都加上1,2下角标, 则在估计映射$\Phi$时, 根据 Strichartz 估计, 对于容许指标对$(p,q)$, 可以替换指标如下: $$
\begin{aligned}
\|\Phi(u)\|_{L^q_t H^{s_2,p}_x}&\leq C|\lambda|\||u|^{\alpha-1}u\|_{L^{r'_1}_tH^{s_2,\rho'_1}_x}\\
&=C\left(\int_{-T}^T \| |u(t')|^{\alpha-1}u(t') \|_{H^{s_2,\rho'_1}_x}^{r'_1}dt'\right)^{1/r'_1}\\
&\leq C\left(\int_{-T}^T \|u(t')\|_{L_x^{\rho^*_1}}^{(\alpha-1)r'_1}\|u(t')\|_{H^{s_2,\rho_1}_x}^{r'_1}dt'\right)^{1/r'_1}\\
&\leq C\left(\int_{-T}^T \|u(t')\|_{H_x^{s_1,\rho_1}}^{(\alpha-1)r'_1}\|u(t')\|_{H^{s_2,\rho_1}_x}^{r'_1}dt'\right)^{1/r'_1}.
\end{aligned}
$$应用指标为$r_1/(r_1'\alpha),r_1/[(\alpha-1)r_1'],r_1/r_1'$的 Hölder 不等式即得$$
\|\Phi(u)\|_{L^q_t H^{s_2,p}_x}\leq
CT^{\delta_1}\|u\|^{\alpha-1}_{L_t^{r_1}H_x^{s_1,\rho_1}}\|u\|_{L_t^{r_1}H_x^{s_2,\rho_1}}
$$由于讨论的是次临界或临界情形, 于是对于小的$T$, 只要$\|u\|_{L^{r_1}_tH_x^{s_1,\rho_1}}$保持有界, 那么$\|u\|_{L^{r_1}_tH_x^{s_2,\rho_1}}$也就保持有界, 从而根据 Strichartz 估计, $\|u\|_{H_x^{s_2}}$也就保持有界. 由此, 在$C^0_tH^{s_1}$中可解的时间段对于$C^0_tH^{s_2}$也可解.

      最后, 如果$s\geq2$, 那么$t\to e^{it\Delta u_0}$和$t\to i\lambda\int_{-T}^Te^{i(t-t')\Delta}|u(t')|^{\alpha-1}u(t')dt'$显然都对$t$连续可微, 导数都落在$H^{s-2}_x$中. 于是微分方程$$
i\partial_tu=-\Delta u-\lambda|u|^{\alpha-1}u
$$在分布/几乎处处的意义下成立. 这就是强解的存在唯一性定理.

7. NLS 的长时间行为 (1): 初等结论

      还是考虑如下的问题:$$
u(t)=e^{it\Delta}u_0+i\lambda\int_{0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}\left[|u(t')|^{\alpha-1}u(t')\right]dt'.\tag{NLS-IVP}
$$现在要开始考虑它的长时间解. 同次临界或临界的$L^2$问题相比, NLS 在 Sobolev 空间中的长时间性质明显要复杂得多, 只能分情况讨论.

      关于$H^s$中的爆破现象, 有一个容易得到的一般结论:

      命题 7.1. 设$0\leq s<n/2$, $1<\alpha\leq1+4/(n-2s)$, $[s]+1\leq\alpha$ (如果$s$是整数则设$s\leq\alpha$). 固定$e^{it\Delta}$的容许指标对$$
(\rho,r)=\left(\frac{n(\alpha+1)}{n+s(\alpha-1)},\frac{4(\alpha+1)}{(\alpha-1)(n-2s)}\right).
$$设$u$是 (NLS-IVP) 在空间$$
C^0_t(I;H^s_x)\cap L^r_{\text{loc},t}(I; H^{s,\rho}_x)
$$中的唯一解, 其中$I=(-T_*,T^*)$是有限的极大存在时间区间. 则有$$
\|D^su(t)\|_{L_x^2}\geq\frac{C}{(T^*-t)^{\kappa}},\,\kappa=\frac{1}{\alpha-1}-\frac{n-2s}{4}.
$$类似的结论对$-T_*$也成立.

      证明. 固定$t\in I$, 在定理 6.2. 的证明中, 改设初值为$u(t)$. 则对于$T\in(t,T^*)$, 从证明可见, 若对于某$R>0$有$$
C\|u(t)\|_{\dot H^s}+C(T-t)^\delta R^\alpha\leq R,\,\delta=\frac{1}{r'}-\frac{\alpha}{r},
$$则定理证明中的映射$u\to e^{i\tau\Delta}u(t)+\Phi(u)$就会把球$\bar B_R$映射到自己, 从而如果把时间区间$[t,T]$分成许多小段, 则可以根据压缩映像原理得到一系列短时解, 将短时解拼接起来即得以$u(t)$为初值的延拓到整个区间$[t,T]$上的解. 于是$T<T^*$. 这样, 对于任何$R>0$, 都必然有$$
C\|u(t)\|_{\dot H^s}+C(T^*-t)^\delta R^\alpha>R.
$$取$R=2C\|u(t)\|_{\dot H^s}$即得$(T^*-t)^\delta\|u(t)\|^{\alpha-1}_{\dot H^s}>C$. Q. E. D.

      接下来讨论初值属于$H^1$的长时间解问题. 对于给定的$s\geq0$, 定义$$
\mathfrak{X}^s:=C^0_t(\mathbb{R};H^s_x)\cap L_{\text{loc}}^r(\mathbb{R};H^{s,\rho}_x),
$$其中$$
(\rho,r)=\left(\frac{n(\alpha+1)}{n+s(\alpha-1)},\frac{4(\alpha+1)}{(\alpha-1)(n-2s)}\right).
$$注意, 这时尚且还不知道解$u$对时间的可积性是否可以提升到$L^r(\mathbb{R};H^{s,\rho}_x)$.

      如果$s\geq1$, 那么利用光滑初值的逼近和解对初值的连续依赖性, 可以得到能量守恒$$
E(u)=\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla u|^2-\frac{2\lambda}{\alpha+1}|u|^{\alpha+1}\equiv E(u_0).
$$在如下的各类情形中, 不依赖能量守恒律的可以立即推广至一般的$H^s$.

      如果是散焦的情形即$\lambda<0$, 则由能量守恒得到任何时间区间上短时解$u$的先验估计$\|\nabla u\|_{L^2_x}\leq E(u_0)$. 这样立即得到$u\in\mathfrak{X}^1$. 自然, 这个依赖于能量守恒的结论这不能推广到一般的$H^s$.

      如果$\lambda>0$, 但$\alpha\in(1,1+4/n)$, 那么根据质量守恒, 可得到方程的$\mathfrak{X}^0$类解$u$. 由前一节的正则性保持结论可见$u$也是$\mathfrak{X}^1$类解. 这可以推广到一般的$H^s$.

      如果$\lambda>0$, $\alpha=1+4/n$, 那么由$L^2$-临界情形的适定性定理, 只要$\|u_0\|_{L^2}$足够小, 也就可以得到$\mathfrak{X}^1$类解. 这可以推广到一般的$H^s$.

      如果$\lambda>0$, $\alpha\in(1+4/n,1+4/(n-2)]\,(n>2)$, 那么根据能量守恒和 Sobolev 不等式与插值不等式, 对于任何短时解$u$, $$
\begin{aligned}
\|\nabla u\|_{L_x^2}^2&= |E(u)|+C\lambda\|u\|_{L_x^{\alpha+1}}^{\alpha+1}\\
&\leq |E(u_0)|+C\lambda\|u\|_{L_x^{2}}^{(\alpha+1)-n(\alpha-1)/2}\|\nabla u\|_{L_x^2}^{n(\alpha-1)/2}\\
&=|E(u_0)|+C\lambda\|u_0\|_{L_x^{2}}^{(\alpha+1)-n(\alpha-1)/2}\|\nabla u\|_{L_x^2}^{n(\alpha-1)/2}.
\end{aligned}
$$注意到$n(\alpha-1)/2>2$. 取一$c>0$充分小, 而后设$\|u_0\|_{H^1_x}\leq c$. 命$y(t)=\|\nabla u\|_{L_x^2}^2$, 则$$
y(t)^2\leq|E(u_0)|+Cc^{(\alpha+1)-n(\alpha-1)/2}y(t)^{n(\alpha-1)/2}.
$$绘制一个如下的示意图:

横轴表示$y(t)$的取值. 如果$c$足够小, 那么可见$y(t)$的取值或者很小或者很大. 由于$y(t)$是连续的, $y(0)=\|\nabla u_0\|_{L_x^2}^2\sim0$, 所以当$t$连续变动时, $y(t)$的值域应该是一个区间 (连通集), 因而不可能跳跃到很大的部分. 于是得到短时解先验估计$$
\|u\|_{H_x^1}\leq |E(u_0)|^{1/2}+C\lambda^{1/2}c^{(\alpha+1)/2}.
$$这样, $u$也就可以延拓为长时间解了. 自然, 这个依赖于能量守恒的结论不能推广到一般的$H^s$.

8. NLS 的长时间行为 (2): 渐近行为

      如果对初值问题 (NLS-IVP) 的衰减性质进行更加精细的研究, 那么就可以得到解的渐近行为, 包括对时间的整体可积性和散射性质.

9. NLS 的长时间行为 (3): 爆破现象

      一个自然的问题是: 对于初值问题 (NLS-IVP) 来说, 爆破现象是否真实存在? 换句话说, 是否存在初值使得按照 (NLS-IVP) 演化的函数会在有限的时间内爆破?

      答案是肯定的. 相比于 Navier-Stokes 方程或者 Euler 方程 (目前尚且不知道两者是否真的存在爆破解, 这都是世界级的数学难题; 唯一的突破性进展属于陶哲轩), 模型 (NLS-IVP) 要简单得多.

想知道NLS这模型有哪些derivation么（不知道应该在哪里评论。。。）

@leafwest 想知道NLS这模型有哪些derivation么（不知道应该在哪里评论。。。）

有, 但背景不是量子力学而是经典力学, 在某些非线性光学模型中和水波方程中都有可以用 NLS 来描述的现象. 这个方程作为模型的意义更大些, 因为比较简单. 物理意义更明确的方程比如非线性波动方程和 KdV 方程的理论往往比 NLS 要复杂, 但是在处理适定性问题的时候所采用的方法经常是 NLS 中相应方法的推广.

@leafwest 诶，话说八九节DT君还会更么 /0o0

可能......不会更了，因为接下来有新的任务了......