如果A,B是 Null Set,A+B是否为Null Set?

  1. 5月前

    似乎其实是很简单的问题……
    如果A,B是 Null Set,A+B是否为Null Set?
    如果A和B都可数或者有一者可数的话,可以用
    \(\bigcup_{a_i \in A} \{a_i + b: b \in B\}\)
    证明A+B是Null Set。
    但是如果A和B都是不可数的话我就没有思路了……感觉可能就不是null set了?我尝试如果A和B都是Cantor Set,但是还是很迷茫。

  2. 都不可数的话有反例。很容易在 $\mathbb{R}^2$ 中找到反例,如 $A=[0,1] \times \{0\}$,$B = \{0\} \times [0,1]$;在 $\mathbb{R}^1$ 中也可取 $A$ 为 Cantor Set 而 $B$ 为 $A/2$,则对 $[0,1]$ 中的任何一个数 $x$,考虑其三进制展开,都可顺利地将其分解为 $A$ 中元和 $B$ 中元的和(并且可以证明 $A+B$ 是 F-sigma 型集),从而 $A+B$ 的测度不小于$1$。

  3. 3月前

    这是错误的,在$1$维中就有反例,例如Cantor集$\mathcal{C}$, 不难发现$[0,1]\times [0,1]$中任何斜率为$-1$的线都经过$\mathcal{C}\times \mathcal{C}$.

 

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