一种 \(\boldsymbol\nabla\) 算符的运算方法

  1. 10月前
    10月前小时 重新编辑

    \(\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{\mathbf{#1}}}
    \newcommand{\vdot}{\vec\cdot}
    \newcommand{\grad}{\vec\nabla}
    \newcommand{\cross}{\boldsymbol\times}
    \newcommand{\div}{\vec\nabla\boldsymbol\cdot}
    \newcommand{\curl}{\vec\nabla\boldsymbol\times}
    \newcommand{\laplacian}{\nabla^2}
    \newcommand{\pdv}[2][{}]{\frac{\partial^{#1}}{\partial{#2}^{#1}}}
    \newcommand{\pdvTwo}[3][{}]{\frac{\partial^{#1}{#2}}{\partial{#3}^{#1}}}\)
    我以前学电动力学/矢量分析的时候自创过一个可以快速推导 \(\boldsymbol\nabla\) 算符相关公式的符号, 感觉用起来非常方便, 想请教一下这么做有没有意义, 是否有人有过类似的想法。

    在用 \(\grad\) 算符计算梯度, 散度和旋度时, 我们几乎可以将其看作一个矢量进行运算, 唯一的区别就是我们需要明确每一项中的偏微分是对那些变量进行的。 例如
    \begin{align}
    \div(U\vec A) &= \pdv{x} (UA_x) + \pdv{y} (UA_y) + \pdv{z} (UA_z)\\
    (\vec A \vdot \grad) U &= A_x \pdvTwo{U}{x} + A_y \pdvTwo{U}{y} + A_z \pdvTwo{U}{z}
    \end{align}
    如果以上两式中把 $\grad$ 符号替换成一个普通的矢量, 两式将没有任何区别。 可见 $\grad$ 符号包含了另一层信息, 这个信息通过 $\grad$ 所在的位置来体现, 但我们希望能定义一种新的符号 $[\dots]_{\dots}$, 把偏导算符的作用对象在方括号的角标中声明, 使得在方括号内的 $\grad$ 可以像普通矢量一样进行运算, 例如
    \begin{equation}
     [\div(U\vec A)]_{A\partial U}
     \equiv [\vec A\vdot \grad U]_{A\partial U}
     \equiv [U\div \vec A]_{A\partial U}
     \equiv \vec A \vdot \grad U
    \end{equation}
    又如, 利用矢量公式 $\vec A\cross(\vec B\cross \vec C) = \vec B (\vec A\vdot \vec C) - \vec C(\vec A\vdot\vec B)$, 有
    \begin{equation}
    [\curl (\vec A\cross\vec B)]_{\partial (AB)} = [\vec A (\div \vec B) + \vec B (\div \vec A)]_{\partial (AB)}
    \end{equation}
    另外, 由乘法的求导法则,有
    \begin{equation}
    [\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B}
    \end{equation}
    使用这个新符号, 我们可以推导许多常用的矢量公式。

  2. 10月前小时 重新编辑

    例 1
    证明 $\curl(U\vec A) = (\grad U) \cross\vec A + U \curl\vec A$。
    \begin{equation}\begin{aligned}
    \curl (U\vec A) &= [\curl (U\vec A)]_{\partial(UA)}\\
    &= [\curl (U\vec A)]_{A\partial U} + [\curl (U\vec A)]_{U\partial A}\\
    &= [(\grad U) \cross\vec A]_{A\partial U} + [U \curl\vec A]_{U\partial A}\\
    &= (\grad U) \cross\vec A + U \curl\vec A
    \end{aligned}\end{equation}
    证毕。

  3. 10月前小时 重新编辑

    例 2
    化简 $\curl(\curl \vec E)$。
    \begin{equation}\begin{aligned}
    \curl(\curl \vec E) &= [\curl(\curl \vec E)]_{\partial^2 E} = [\grad(\div\vec E) - \laplacian \vec E]_{\partial^2 E}\\
    &= \grad(\div\vec E) - \laplacian \vec E
    \end{aligned}\end{equation}

  4. 10月前小时 重新编辑

    例 3
    证明 $\grad(\vec F \vdot \vec G) = \vec F\cross(\curl \vec G) + \vec G\cross (\curl \vec F) + (\vec F\vdot\grad)\vec G + (\vec G\vdot\grad)\vec F$。

    从右向左证明, 上式等于
    \begin{equation}\begin{aligned}
    {}&[\vec F\cross(\curl \vec G)]_{F\partial G} + [\vec G\cross (\curl \vec F)]_{G\partial F} + [(\vec F\vdot\grad)\vec G]_{F\partial G} + [(\vec G\vdot\grad)\vec F]_{G\partial F}\\
    &= [\grad (\vec F\vdot\vec G) - (\vec F\vdot\grad)\vec G]_{F\partial G} +[\grad(\vec F\vdot\vec G) - (\vec G \vdot\grad)\vec F]_{G\partial F} \\
    & \qquad + [(\vec F\vdot\grad)\vec G]_{F\partial G} + [(\vec G\vdot\grad)\vec F]_{G\partial F}\\
    &= [\grad(\vec F\vdot\vec G)]_{F\partial G} + [\grad(\vec F\vdot\vec G)]_{G\partial F}\\
    &= [\grad(\vec F\vdot\vec G)]_{\partial (FG)} = \grad(\vec F\vdot\vec G)
    \end{aligned}\end{equation}
    证毕。

  5. 10月前小时 重新编辑

    邀请:@勇者护手 @lh1962 @FatFish

  6. 挽尊。

    Nabla算符和矢量满足完全相同的运算法则 通常的问题是它的分量$\partial_i$会对其后所有作用 才会有看起来奇怪的公式出现
    附件供你参考
    所以大哥我跪求你学学levi-civita符号吧

    • 42644845-7F93-4071-9F06-9AB6151155AD.jpeg
  7. 10月前小时 重新编辑

    @勇者护手 挽尊。

    Nabla算符和矢量满足完全相同的运算法则 通常的问题是它的分量$\partial_i$会对其后所有作用 才会有看起来奇怪的公式出现
    附件供你参考
    所以大哥我跪求你学学levi-civita符号吧

    然而你的推导用了这么多行,我的只用了两行 /^b^ 。 再说那个 $\epsilon$ 变 $\delta$ 的 identity 我已经会拉, 但还是觉得挺难用的。

  8. @小时 然而你的推导用了这么多行,我的只用了两行 /^b^ 。 再说那个 $\epsilon$ 变 $\delta$ 的 identity 我已经会拉, 但还是觉得挺难用的。

    从本质上来说只是个傀指标求和过程......
    学张量的时候你也必然会碰到的

    你要是自然科学爱好者当我没说,科班出身的人学成这样就有点那啥了

  9. 算了算了 我说话有点重,尼不要放在心上

  10. 10月前小时 重新编辑

    @勇者护手 算了算了 我说话有点重,尼不要放在心上

    我开这个贴主要是想介绍一种简单得多的符号,推导时可以省去爱因斯坦求和约定,一大堆角标,一堆单位矢量,还有那个 identity,你不觉得这在教育学中是一件很有意义的事情吗?杀鸡焉用牛刀,等到学张量了再开始学你那些也不迟啊。我最近在写教材,我给你引用一句话,“美国的教材:不懂?我给你打个比方吧,懂了吧,我们来学下一个。国内的教材:你们这群傻X,来看看我有多牛X”。

    再说我都一再强调已经会你那套推导了,觉不觉得麻烦是我的观点是我的自由,我就是不喜欢杀鸡用牛刀。我不是做理论物理的,我是做应用光学实验的,也不学广义相对论微分几何张量分析。每个人懂的东西都不一样,我觉得理所应当然要懂的说不定你也不懂。这不是高中,给你来个考纲,大家每天就学这几个东西。

  11. FatFish

    11楼 2018年3月28日 物理版主, 优秀回答者

    老实说我没理解这个贴子,(1)式的$A\partial U$角标似乎说明A在导数外面,那最右边应该是$ (\vec A \vdot \grad) U$才对啊。再比如说,很多例子根本没看出来怎么“推导”的,比如说例2是怎么直接出来$$[\curl(\curl \vec E)]_{\partial^2 E} = [\grad(\div\vec E) - \laplacian \vec E]_{\partial^2 E}$$的这中间跳过了什么。

  12. 10月前小时 重新编辑

    @FatFish (1)式的$A\partial U$角标似乎说明A在导数外面,那最右边应该是$ (\vec A \vdot \grad) U$才对啊。

    你是指式 3 吧, 这个的确是我打错了,已经修改了。

    @FatFish 比如说例2是怎么直接出来

    由于 $[\curl(\curl\vec E)]_{\partial^2 E}$ 右下角已经声明了二阶导数都要对 $E$ 进行(事实上也只能对 $E$ 进行), 所以方括号中就可以把 $\grad$ 看成一个普通矢量(例如 $\vec A$)进行连续叉乘的化简
    $$\vec A \cross (\vec A \cross \vec E) = \vec A (\vec A\vdot \vec E) - \vec A^2 \vec E$$
    因为众所周知,
    $$\vec A \cross (\vec B \cross \vec C) = \vec B (\vec A \vdot \vec C) - \vec C (\vec A \vdot \vec B)$$
    剩下的例子也类似, 还有就是由乘法的求导法则, 我们有
    $$[\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B}$$

  13. 支持一下楼主。个人感觉就是把 \(\nabla\) 形式上的向量性和作为微分算子的性质分开来处理了,感觉是干净了许多。问题是这种方法建立在Vector algebra(三维向量空间的点乘、叉乘)上,不太容易推广到一般张量场的微分算子上。如果能用geometric algebra(外代数)的语言重新整理一下说不定可以得到更好的结果。

  14. 10月前小时 重新编辑

    @aleph0 ……不太容易推广到一般张量场的微分算子上……

    有道理,谢谢

  15. 10月前小时 重新编辑

    我在读英文教材的时候时常会遇到作者自己发明的各种小符号, 例如 Daniel 的 An Introduction to Thermal Physics 中, 在“弱相互作用气体”一章发明了如下符号
    1.png
    2.png
    3.png
    (其实我不确定这个是不是大家都这么用还是作者发明的)

  16. @小时 我开这个贴主要是想介绍一种简单得多的符号,推导时可以省去爱因斯坦求和约定,一大堆角标,一堆单位矢量,还有那个 identity,你不觉得这在教育学中是一件很有意义的事情吗?杀鸡焉用牛刀,等到学张量了再开始学你那些也不迟啊。我最近在写教材,我给你引用一句话,“美国的教材:不懂?我给你打个比方吧,懂了吧,我们来学下一个。国内的教材:你们这群傻X,来看看我有多牛X”。

    再说我都一再强调已经会你那套推导了,觉不觉得麻烦是我的观点是我的自由,我就是不喜欢杀鸡用牛刀。我不是做理论物理的,我是做应用光学实验的,也不学广义相对论微分几何张量分析。每个人懂的东西都不一样,我觉得理所应当然要懂的说不定你也不懂。这不是高中,给你来个考纲,大家每天就学这几个东西。

    是这样 我确实是戾气重了 向你道歉

  17. 10月前unsinn 重新编辑

    @小时 我在读英文教材的时候时常会遇到作者自己发明的各种小符号, 例如 Daniel 的 An Introduction to Thermal Physics 中, 在“弱相互作用气体”一章发明了如下符号
    (其实我不确定这个是不是大家都这么用还是作者发明的)

    这些图被称为cluster,相关的技术是Cluster expansion.

  18. @勇者护手 是这样 我确实是戾气重了 向你道歉

    没关系 /<<

  19. @unsinn 这些图被称为cluster,相关的技术是Cluster expansion.

    酱紫,谢啦

  20. FatFish

    20楼 2018年3月28日 物理版主, 优秀回答者

    @小时 你是指式 3 吧, 这个的确是我打错了,已经修改了。

    你说得对,是(3)式。

    @小时 因为众所周知$$\vec A \cross (\vec B \cross \vec C) = \vec B (\vec A \vdot \vec C) - \vec C (\vec A \vdot \vec B)$$

    其实计算这个式子不是一样要展开算一通分量吗……

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