Hilbert空间有没有“度量张量”?

  1. 2年前
    2年前puppet 重新编辑

    为什么常见的文献,说到量子态的归一化,就是
    \[\langle\Psi|\Phi\rangle=\sum_k \Psi^*_k\Phi_k=\delta_{\Psi,\Phi}\]

    而不是像微分几何里面搞一个(非欧的)度量张量\(g_{jk}\):
    \[\langle\Psi|\Phi\rangle=\sum_k g_{jk}\Psi^*_j\Phi_k=\delta_{\Psi,\Phi}\]

    我想应该有不少人有过这样的想法吧。

  2. tyj518

    2楼 2016年5月17日 优秀回答者
    2年前tyj518 重新编辑

    $g_{ik}$是常量的情况下,若$g_{ik}$正定,则基本意味着做个基底变换即可让$g_{ik}=\delta_{ik}$,而且量子力学中Hilbert空间的内积基本是由算符的厄米性给出的,余下的归一化上的自由度对物理本质没有影响;若$g_{ik}$不定,则这个空间不再是Hilbert空间,而是与indefinite inner product space或是Krein space有关,虽说相关的数学理论也很丰富,但若只是量子力学的话应该用不到。
    $g_{ik}$是变量的情况下,貌似是一个无穷维的流形了。

  3. @tyj518 $g_{ik}$是常量的情况下,若$g_{ik}$正定,则做个基底变换即可让$g_{ik}=\delta_{ik}$,而且量子力学中Hilbert空间的内积基本是由算符的厄米性给出的,余下的归一化上的自由度对物理本质没有影响;若$g_{ik}$不定,则这个空间不再是Hilbert空间,而是与indefinite inner product space或是Krein space有关,虽说相关的数学理论也很丰富,但若只是量子力学的话应该用不到。
    $g_{ik}$是变量的情况下,貌似是一个无穷维的流形了。

    我就是想说$g_{ik}$是变量的情况

  4. tyj518

    4楼 2016年5月17日 优秀回答者

    @puppet 我就是想说$g_{ik}$是变量的情况

    那$g_{ik}$怎么变?是说$\langle u,v\rangle=\sum_{i,k}g_{ik}(u,v)u_iv_k$?

  5. 2年前single嵩 重新编辑

    这么说的话,相当于是在某个底空间的每个点上粘上了一个 Hilbert 空间……那么底空间是什么?粘合得到的丛又有什么意义……

  6. 所谓的Hilbert manifold

  7. 我觉得还是有意义的吧,几何量子化用得到。由于我物理学的不多,不知道是不是楼主需要的。但是最近看到Axelrod Pietra Witten的文章"Geometric Quantization of Chern-Simons gauge theory"里面说过,相当于要对每个configuration space给一个Hilbert 空间,那么其实就是在模空间的每一个点给一个希尔伯特空间。

    具体这篇我没看,但是我看过Witten在"Quantum Background Independence in String Theory"提到过,如果模空间是卡拉比-丘流形的复结构模空间,而每个复结构给的希尔伯特空间是在此复结构下全纯函数,那么上面的比较好的联络作用为0等价于BCOV anomaly方程,其实还是一个比较深刻的结果.

  8. 去年

    王正行在他的书里提了一句,现有的量子力学是欧式空间下的量子力学……度规张量都取1

  9. 2周前Phantom_Ghost 删除了
  10. 2周前

    Phantom_Ghost

    10楼 1月27日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    2周前Phantom_Ghost 重新编辑

    投影Hilbert空间可以被赋予一种量子度量——Fubini-Study度量,从而形成一种复流形的几何。这种几何化的描述最先源自于数学上的相干态量子化方案:令$\mathcal{H}$为一$N$维Hilbert空间(包括无穷维情形),考虑其投影Hilbert空间$\mathbb{P}(\mathcal{H})$等同于所有正交投影子$\Psi_\psi=\frac{|\psi\rangle\langle\psi|}{\|\psi\|}$(投影到$\mathcal{H}$的一维子空间)集合,赋予其一个解析图册$\{V_\Phi,\mathbf{h}_\Phi,\mathcal{H}_\Phi|\Phi\in\mathbb{P}(\mathcal{H})\}$,其中$V_\Phi=\{\Psi\in\mathbb{P}(\mathcal{H})|\langle\phi|\psi\rangle\neq 0\}$, $\mathcal{H}_\Phi=(\text{Id}-\Phi)\mathcal{H}$, $\mathbf{h}_\Phi:V_\Phi\to\mathcal{H}_\Phi\,,\,\mathbf{h}_\Phi(\Psi)=\frac{(\text{Id}-\Phi)}{\langle\hat{\phi}|\psi\rangle}\psi\,\,(\|\hat{\phi}\|=1)$为微分同胚;通过正交基表示$z_i=\langle e_i|\psi\rangle$, $Z_i=\frac{z_i}{z_0}=\langle e_i|\mathbf{h}_\Phi(\Psi\rangle)$可以把$\mathbb{P}(\mathcal{H})$等同为$\mathbb{C}P^N$。$\pi:\mathcal{H}\backslash\{0\}\to\mathbb{P}(\mathcal{H})$视为$\mathbb{P}(\mathcal{H})$上的典范线丛(一个主$\mathbb{C}^\times$-丛)记为$\mathbb{L}(\mathcal{H})$。$\mathcal{H}_\Psi$上的复结构赋予切空间$T_\Psi\mathbb{P}(\mathcal{H})$一个可积复结构$J_\Psi$,在整个$\mathbb{P}(\mathcal{H})$上为可积近复结构从而使得$\mathbb{P}(\mathcal{H})$成为Kähler流形,它上面的典范2-形式(兼容的辛形式)就叫Fubini-Study 2-形式$\omega_\text{FS}$,于是相配的Riemann度量$g_\text{FS}(\cdot,\cdot)_\Psi=\omega_\text{FS}(\cdot,J_\Psi\cdot)$,并诱导出Hermite内积$h_\text{FS}=g_\text{FS}+i\omega_\text{FS}$。Hermite线丛$(\mathbb{L}(\mathcal{H}),h_\text{FS},\nabla_\text{FS})$视为$(\mathbb{P}(\mathcal{H}),\omega_\text{FS})$的几何量子化中的预量子化线丛。接下来对于作为描述经典力学的任何一个辛流形$(M,\omega)$,相干态量子化就是找到一个辛同胚$\text{Coh}:M\to\mathbb{P}(\mathcal{H})$, $\omega=\text{Coh}^*\omega_\text{FS}$, $h_K=\text{Coh}^*h_\text{FS}$, $\nabla_K=\text{Coh}^*\nabla_\text{FS}$,$\mathbb{L}=\text{Coh}^*\mathbb{L}(\mathcal{H})$,这使得$(\mathbb{L},h_K,\nabla_K)$为$(M,\omega)$上的预量子化线丛。线丛上的光滑截面即为相干态$\varepsilon:U\subset M\to\mathcal{H}$,也就有$\text{Coh}(x)=\frac{|\varepsilon(x)\rangle\langle\varepsilon(x)|}{\|\varepsilon(x)\|}$, $\int_M |\varepsilon(x)\rangle\langle\varepsilon(x)| d\mu_L(x)=\text{Id}_\mathcal{H}$。

    这种几何化的表述数学上有着很丰富的内容,物理上也可以提供人们一些新的工具或语言来作为理论描述,如这些工作:
    1.Extracting the quantum metric tensor through periodic driving
    2.Revealing Tensor Monopoles through Quantum-Metric Measurements
    3.Quantum mechanics in an evolving Hilbert space

 

后才能发言